1_DESCRIZIONE
Il Corso di Istituzioni di Matematica ha come obiettivo la comprensione degli strumenti di base dell’Analisi Matematica, dell’Algebra Lineare e della Geometria Analitica. Il Corso, cimentandosi con la difficoltà di conciliare intuito e rigore analitico, si propone di fornire allo Studente le conoscenze di base e gli strumenti analitici necessari al suddetto processo di conoscenza e comprensione.
2_PROGRAMMA DEL CORSO
L’INSIEME DEI NUMERI REALI: Assiomi dei numeri reali. Definizione e proprietà del valore assoluto. Insiemi limitati. Intervalli della retta reale. Maggioranti, minoranti, massimo, minimo, estremo superiore, estremo inferiore. Intorno di un punto. Punti di accumulazione, isolati, interni, esterni, di frontiera. Disequazioni di primo e secondo grado. Sistemi di disequazioni. Disequazioni con valore assoluto.
FUNZIONI: Generalità sulle funzioni (dominio e codominio, operazioni tra funzioni, proprietà delle funzioni). Funzioni reali di una variabile reale. Funzioni limitate: massimo, minimo, estremo superiore, estremo inferiore. Funzioni monotone. Teorema di invertibilità delle funzioni monotone. Funzioni elementari e loro proprietà: polinomi, funzioni razionali, potenze ad esponente intero e razionale, potenze di base ed esponente reale, funzioni irrazionali, esponenziali, logaritmi, funzioni trigonometriche (seno, coseno, tangente, arcoseno, arcocoseno, arcotangente). Disequazioni fratte, irrazionali, esponenziali, logaritmiche, trigonometriche. Domini di funzioni reali di una variabile reale.
LIMITI DI FUNZIONI: Definizione di limite di una funzione in un punto. Limite destro e sinistro di una funzione. Limite infinito di una funzione in un punto. Definizione di limite per una funzione all’infinito. Gerarchia degli infiniti. Confronto fra infiniti. Principio di sostituzione degli infiniti. Teoremi sui limiti: Teorema di unicità del limite, Teorema della permanenza del segno, Teorema del confronto. Algebra dei limiti. Tecniche per il calcolo dei limiti. Limiti notevoli. Interpretazione grafica del limite.
FUNZIONI CONTINUE: Definizione di funzione continua in un punto. Esempi di funzioni continue. Algebra della continuità. Teorema di continuità delle funzioni composte. Punti di discontinuità. Teorema dell'esistenza degli zeri. Teorema di Weierstrass. Teorema dei valori intermedi. Teorema su funzioni inverse.
CALCOLO DIFFERENZIALE: Definizione di derivata. Continuità delle funzioni derivabili. Significato geometrico di derivata. Derivate funzioni elementari. Regole di derivazione. Punti di non derivabilità. Derivazione delle funzioni composte. Definizione di punto critico. Massimi e minimi relativi. Teorema di Fermat. Teorema di Rolle. Teorema di Lagrange. Conseguenze al teorema di Lagrange. Studio di funzione. Teorema di Cauchy. Teorema di De L’Hopital. Crescenza, decrescenza, concavità, convessità e flessi di una funzione. Massimi e minimi relativi di una funzione derivabile. Derivate successive.
CALCOLO INTEGRALE: Primitiva di una funzione. Integrale indefinito. Integrali immediati. Proprietà degli integrali. Tecniche di integrazione. Integrazione di funzioni composte. Integrazione per parti. Integrale definito e suo significato geometrico. Teorema fondamentale del calcolo integrale. Teorema della media integrale. Calcolo di aree piane.
ALGEBRA LINEARE: Matrici quadrate e rettangolari, matrice identica. Operazioni: somma, prodotto, moltiplicazione per uno scalare, esempi. Proprietà delle matrici. Determinante e rango di una matrice. Teorema di Laplace. Matrice inversa. Risoluzione di sistemi lineari ad n incognite, regola di Cramer. Teorema di Rouchè-Capelli.
ELEMENTI DI GEOMETRIA ANALITICA: Rette e segmenti orientati. Coordinate cartesiane sul piano. Distanza di due punti. Punto medio di un segmento. Equazione della retta, forma implicita ed esplicita. Coefficiente angolare di una retta e suo significato geometrico. Condizione di parallelismo e di perpendicolarità tra due rette. Distanza di un punto da una retta. Equazione della circonferenza, della parabola, dell’ellisse, dell’iperbole e problemi connessi. Intersezione tra conica e retta. Retta tangente a una conica.
3_RISULTATI ATTESI
Gli studenti del corso acquisiranno la conoscenza degli strumenti di base dell’Analisi Matematica, dell’Algebra Lineare e della Geometria Analitica e alcune delle loro applicazioni.
Ultimo aggiornamento: 25-03-2025
